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　　作者：周雄

　　作者单位：武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室

　　摘    要：　地震作用下, 传统无质量固定边界模型没有考虑地基辐射阻尼, 一般造成计算结果较实际偏大。通过对ANSYS有限元软件的APDL程序进行二次开发实现了粘弹性人工边界。对比粘性人工边界, 该人工边界在动力分析中具有较高的精度和稳定性, 且编程简单。同时, 粘弹性边界条件下地震波输入的算例表明该条件下能够准确地模拟地震动输入。最后, 将粘弹性人工边界用于地震作用下岩质边坡动力反应分析, 研究与探讨了不同阻尼比下位移放大系数在坡体中的分布规律。研究结果表明:边坡的位移放大系数并不沿着高程而线性增加, 而是先减小后增大, 在坡体中下部形成一个极小值区。计算结果对边坡抗震设计具有一定的参考意义。

　　关键词：　岩质边坡; 粘弹性人工边界; 动力响应; 地震作用; 放大系数;

　　Abstract：　With earthquake action, the results derived from the no-mass foundation and fixed boundary model without considerating the foundation radiation damping are usually larger than that in effect.The viscous-spring boundary is realized with the redevelopment of APDL of ANSYS finite element software.In dynamic analysis this boundary has highly computational precision and stability compared with viscous boundary, and it can be easily implemented by programming simply.An example of the input of seismic waves under the condition of the boundary demonstrates that this input is accurate and reasonable.The viscous-spring artificial boundary is applied to the dynamic analysis of rock slope with earthquake effect.Finally, the distribution of the displacement amplification coefficient in the slope is studied and discussed with varied damp ratios.The results show that the amplification of the displacement doesn't rise linearly with the elevation increasing but it first decreases and then increases and a region of minimum coefficient emerges at the low part of the slope.The results serve as a reference for the study of a seismic design of slope.

　　Keyword：　rock slope; viscous-spring artificial boundary; dynamic response; earthquake effect; amplification coefficient;

　　0 、引言

　　目前岩土体的动力问题的研究已经成为岩土力学界、工程地质界、地震工程学界的热点之一[1], 其中岩质边坡的动力问题的研究更是岩土体动力问题的研究重点。经过几十年的不懈努力, 国内外许多学者对边坡动力问题进行了大量的研究, 取得了一些可喜的成果。可是, 当前岩质边坡动力问题仍存在着诸多难点。
 

　　进行边坡动力分析需要考虑边坡-地基的动力相互作用, 无限地基如何模拟是常常要面对的问题。在静力问题中, 地基对边坡的作用可通过取出足够大的地基来模拟其影响[2]。但在动力分析中, 由于地震波向无限远域传播, 当外行射波在计算截取的有限区域地基边界上会发生反射, 使得地震动能量被夸大。最初的处理手段是采取远置边界, 在边界反射波再次回到结构前已经完成了动力反应分析。但这种做法存在着两个主要的问题:一是这种方法截取的地基范围过大, 造成计算量很大, 占据的计算空间巨大, 非常耗时, 甚至无法完成计算;一是为了减小计算量, 通常采用大网格尺寸, 进行波动问题求解时会因高频滤波带来过大的精度损失。所以应该截取适当有限范围的地基, 然后设置合理的无反射人工边界来模拟无限地基辐射阻尼效应[3]。人工边界分为全局人工边界和局部人工边界。全局人工边界条件是使外行散射波满足无限域内的所有场方程和物理边界条件, 所以它是对无限域精确的模拟。但全局人工边界是时空藕联性的, 又是在频域下建立的, 需要进行时域-频域转换, 使得计算量大。基于单侧波动理论发展的局部人工边界, 是使射向人工边界任一点的外行波从该点穿出边界, 因此是对无限域近似的模拟。因为它是在时域下建立的, 且具有时空解耦性。所以计算量小, 实现简便, 受到广大科研工作者的青睐[4]。常见的局部人工边界有:透射边界、粘性边界, 粘弹性边界等。透射边界具有较高的工程应用精度, 但是不易于程序实现, 有时会出现高频振荡失稳现象。粘性边界[5]概念清楚, 对散射波能量吸收较好, 易于编程实现, 但是它只具有一阶精度, 不能模拟无限地基的弹性恢复性能, 会出现低频漂移现象。在粘性边界的基础上, Deeks推导了二维时域粘弹性边界[6]。粘弹性人工边界不仅考虑了对散射波能量吸收, 还能够模拟半无限地基的弹性恢复能力, 具有较高的精度和良好的频率稳定性[7]。

　　本文主要通过设置粘弹性人工边界对外行散射波的能量吸收效果进行研究, 并在该边界条件下对地震动输入的合理性进行验证。在此基础上, 对边坡在地震作用下动力反应进行研究, 并分析边坡的放大系数的分布规律。

　　1、 粘弹性人工边界

　　1.1、 粘弹性边界的实现

　　采用有限元进行动力计算时[4,10], 要实现粘弹性人工边界, 基本思想是在人工边界结点的法向和切向设置并联的弹簧和阻尼器来实现。

　　二维平面内人工边界上法向和切向的弹簧刚度和阻尼系数取值为:

　　三维人工边界上法向和切向的弹簧刚度和阻尼系数取值为:

　　式中:KbN、KbT分别为单位面积的法向与切向弹簧刚度;CbN、CbT分别为单位面积的法向与切向阻尼器的阻尼系数;r为波源至人工边界点的距离;λ、G为介质Lame常数;cP和cS分别为介质的P波和S波波速;参数A表示平面波与散射波的幅值含量比, 反映人工边界外行透射波的传播特性;参数B表示物理波速与视波速的关系, 反映不同角度透射多子波的平均波速特性。大量数值计算表明, 建议取A=0.8, B=1.1。

　　1.2 、粘弹性边界精度

　　从二维半无限空间截取4m×2m的有限计算区域, 顶端自由, 底部和两个侧面设置粘弹性人工边界[8]。材料弹性模量为E=2.5Pa, 泊松比为v=0.25, 材料密度为ρ=1kg/m3。空间步长为0.05m, 时间步长为0.025s, 总计算时间为12s。计算模型和观测点如图1所示。动荷载为作用于自由表面的分布荷载P (x, t) =S (x) T (t) , 其中:

　　图1 均匀弹性半空间力学模型Fig.1 Uniform half?space elastic mechanical model

　　观测点A、B的竖直位移时程, 如图2所示。基于上文粘弹性边界的实现方法和刘晶波的一致粘弹性边界理论[9], 采用ANSYS有限元软件中APDL语言做二次开发对无限远边界进行模拟。采用大型通用有限元分析软件Patran&Nastran的直接法计算结果[8]与本文的粘弹性边界计算结果已经非常接近。由此可以看出, 本文对动力无限远地基的模拟的合理性与准确性。同时, 计算结果表明粘弹性边界在计算精度和稳定性方面优于粘性边界。

　　2 、地震动输入问题算例

　　粘弹性人工边界下的地震波动输入转化为作用于各人工边界节点上的等效荷载[11]。算例模型与第一个算例相同。介质的剪切波速为1m/s, 压缩波速为1.732m/s。空间步长为0.05m, 时间步长为0.001s, 总计算时间为8s。

　　采用S波从二维模型底部垂直入射, 其地震波的位移为:

　　其中, 0≤t≤0.5s。

　　根据波动理论, 理论解的水平剪切位移波在1s (1/1=1) 时到达模型中部, 2s (2/1=2) 时到达模型顶部, 由于顶部是自由表面故放大两倍, 经顶部自由表面反射后向下传播, 在3s (3/1=3) 时达到模型中部, 4s (4/1=4) 时到达模型底部, 4.5s (4/1+0.5=4.5) 后, 水平剪切波完全穿过底面, 向无限远传播, 计算模型各部位的位移均变为0。

　　图3给出了观测点B、C、D的水平位移时程曲线, 数值计算结果同上述的理论解非常吻合。由此, 可以证明粘弹性边界模拟地基辐射阻尼和地震动输入方法均是合理的。

　　3 、岩质边坡动力分析

　　3.1 、有限元计算模型

　　用ANSYS软件对边坡进行数值模拟, 如图4。模型采用PLANE42单元, 考虑为平面应变问题。模型的左右两侧边界及底面边界均采用粘弹性人工边界。

　　图2 均匀半空间不同观测点竖直位移时程Fig.2Vertical displacements of observe points for uniform half?space

　　图3 不同观测点的水平位移时程曲线Fig.3 Horizontal displacement time?history curves of observe points

　　岩体的材料力学参数采用文献[12]中的参数, 如表1。边坡材料的阻尼比取为0.05。数值模拟中采用弹塑性本构关系, 选用D-P破坏准则。

　　表1 岩质边坡岩石材料参数Tab.1 Rock material parameters for rock slope

　　图4 岩质边坡有限元计算模型示意图Fig.4 The FEM calculating model sketch of rock slope

　　3.2、 输入地震波

　　本文的地震波选择1976年的天津地震水平加速度时程曲线, 如图5所示。该地震波的加速度峰值为1.458m/s2, 持续时间为19.19s, 时间步长为0.01s。

　　图5 天津波水平向加速度时程Fig.5 The horizontal acceleration time?history of Tianjin wave

　　3.3、 模态分析

　　建立边坡有限元模型后, 首先进行模态分析, 得到系统的前十阶自振频率和自振周期, 如表2。根据模态求解中的前两阶频率求出Rayleigh阻尼, 是后续时程分析的基础。

　　表2 前十阶自振频率和自振周期Tab.2 The first ten natural frequencies and natural periods

　　3.4、 边坡动力响应时程分析

　　在边坡的坡面上设置3个观测点1号、2号、3号分别代表坡脚、坡腰、坡顶, 如图5。坡脚、坡腰、坡顶的高程分别为0m、50m、100m。它们的时程响应如图6所示。

　　从数值模拟的结果来看, 坡顶的位移响应滞后于坡腰, 坡腰的位移响应滞后于坡脚, 产生这种现象是由于地震波是由边坡底部输入造成的, 表明地震动输入的合理性。坡顶的位移峰值最大, 坡脚的位移峰值略大于坡腰。速度时程响应, 表现出同样的规律。而加速度峰值, 坡腰最小, 坡顶最大, 坡脚略小于坡顶。可见, 1号、2号两点表现出边坡对地震波传播过程的衰减效应, 2号、3号表现出边坡对地震波传播过程的放大效应。

　　图6 各观测点时程曲线Fig.6 The time?history curves of observe points

　　3.5、 不同阻尼下边坡放大系数分析

　　边坡的位移放大系数定义为边坡地震动力响应位移峰值与坡脚 (即图5的点1号) 地面位移波动峰值的比值。边坡的速度放大系数和加速度放大系数具有类似的定义。结构的阻尼比ξ是结构的重要动力特性参数, 通常是由结构自由振动试验获得。实际工程中往往凭借经验取为某一个值, 具有一定的不确定性。为确定阻尼比对边坡放大效应的分布规律, 对阻尼比ξ分别取0、0.02、0.05和0.10的边坡进行了数值模拟。数值模拟结果表现边坡的位移、速度和加速度放大系数分布具有相似的规律, 鉴于篇幅, 仅对位移放大系数进行研究。为了突出边坡主要区域的放大系数分布规律, 这里只选取坡体部分分析。边坡的放大系数分布情况见图7。

　　图7 不同阻尼比下边坡放大系数等值线Fig.7 Contours of amplified coefficients of the slope with varied damp?ratios

　　由计算结果可以得出, 地震作用下岩质边坡响应的一些特点:

　　(1) 位移放大系数沿竖直方向并不是随着高程的增加而线性增大的。当处于中下部以下时, 位移放大系数随着高程的增加而减小;当处于中下部以上时, 位移放大系数随着高程的增加而增加。在边坡的中下部位置处出现了极小值区, 在坡顶出现极大值中心。

　　(2) 位移放大系数沿着水平方向变化:当处于较低的高程时, 位移放大系数由内部向坡面而增大。在极小值区时, 位移放大系数等值线呈等间距分布。当接近坡顶高程时, 位移放大系数又由内部向坡面而增大。

　　(3) 阻尼对边坡放大效应的分布存在着很大的影响, 当阻尼比较小 (ξ≤0.05) 时, 较高高程 (约60m到75m) 的位移放大系数等值线走向大致呈水平, 由内部向坡面的位移放大系数几乎相同。随着阻尼比的增大, 边坡的极小值区不断下移。当阻尼比为0.10时, 不存在放大系数等值线走向呈水平的现象。

　　(4) 阻尼对边坡放大系数的幅值影响存在较大影响。无阻尼时, 位移放大系数的最大值为1.919, 位置在3号处。当阻尼比为0.02时, 位移放大系数的最大值为1.609, 位置在坡顶平台的极大中心处。阻尼比为0.05、0.10时, 位移放大系数的最大值分别为1.346和1.053, 位置均在3号处。

　　4、 结语

　　本文主要应用粘弹性人工边界进行地震作用下岩质边坡的动力响应研究。通过粘弹性人工边界设置的算例, 验证了该边界具有良好的能量吸收效果, 能够在动力条件下进行精确的模拟。与黏性边界比较, 表明具有良好的计算精度和稳定性。通过粘弹性人工边界地震动输入算例, 验证施加等效结点力作为地震动输入的合理性和正确性。

　　在不同阻尼比下, 进行了地震作用下位移放大系数在岩质边坡中分布规律的研究与分析。结果表明, 边坡的位移放大系数沿竖直方向并不是随着高程的增加而线性增大的, 而是先减小后增大。沿高程方向边坡对地震波既有放大效应又有衰减效应, 无阻尼工况下也是如此, 表明边坡阻尼不是产生衰减效应的原因。

　　在边坡的中上部大约3/4以上放大系数等值线分布密集, 位移放大效应明显;水平方向上, 动力响应由内部向坡面有一定的放大作用, 呈现出趋表效应。

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本文来源：http://www.rjdtv.com/gongchenglunwen/1026.html