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　　我国师范院校数学专业肩负着培养中小学数学师资的重任,在中小学数学教学中努力揭示获取数学知识的思维过程,向学生展现数学知识发生与发展的过程,引导学生体会真正的数学思维过程,揭示蕴含的数学思想和方法,激发学生的求知欲望,重构大学的数学教育理念,这对于培养具有良好数学思维和创新精神的人才具有重大的意义和价值。

　　1、重构数学教育理念

　　现代高等教育既以传授知识为中心,又以创造知识为重点,美国加州大学伯克利分校的卡斯特斯教授对此作过一个非常生动的比喻:如果说知识信息是新的世界经济中的电流,那么大学就是产生这种电流的“发电机”。纵观大学的发展历程,十三世纪,最初的一批大学在欧州建立起来了,然而中世纪的大学由于受当时神学意识形态的浸染,其使命在于研习学问和教化人格。到了十七世纪,以德国的哈勒大学为代表的真正意义上的大学出现了,打破了中世纪大学对高等教育的垄断,自此以后,大学成为了研究高深学问的机构与科学、学术的中心,而“学术自由”和“学术自治”成为以后世界大学的基本原则。

　　在我国数学本科教学中,主要是以传授知识为主,对数学史与数学思想方法在教材中的挖掘和如何揭示获取数学知识的思维过程重视程度不够,但在1998年教育部颁布的《普通高等学校本科专业目录和专业介绍》中,把数学史列入数学与应用数学(师范类)本科专业的主要课程之一,并在“业务培养要求”中明确提出数学本科毕业生应“了解近代数学的发展概貌及其在社会发展中的作用”。教育部还将数学史正式列入高中数学选修课程之中,在《普通高中数学课程标准(实验)》

　　中又明确提出“数学探究、数学建模、数学文化应贯穿于整个高中数学课程之中”,“数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势。”因此,学术是大学的逻辑起点,对知识的传递、批判和探索是大学永恒的主题,一场深刻的数学教育教学改革在我国高校广泛展开,改革的中心是培养什么样的人才以及如何培养这样的人才。然而,由于数学是一门相当古老的学科,教学教育的状况并不理想,在多数人的眼中,数学只是一堆公式和符号,晦涩艰深,枯燥难学,没有实际用途,因而对数学是敬而远之的态度,对数学的精神和思想也未必能深刻领会和理解,大多数学生除了会解书上的数学题之外,很少会想到教材中蕴含的数学史与数学思想方法,而高师院校的数学院系的领导、教师和学生普遍都不太重视对数学史课程的开设与教学,而是把数学基础课程和专业课程看得很重要。因而,在数学教学中要培养具有创新精神的数学人才,除了加强基础课和专业课程的学习之外,还必须注重学生良好数学思维品质的培养,挖掘教材中蕴含的数学史与数学思想方法,揭示数学知识的发生、发展与解决的过程,提出一个问题往往比解决一个问题更为重要,激发学生学习数学的求知欲以及对科学的探索精神和方法,培养学生的创新精神。

　　2、数学史与数学思想方法的挖掘

　　目前,在中小学数学课堂教学竞赛中,中小学数学老师都尽可能将所授课的内容与数学史及思想方法联系起来,渗透在课堂教学过程之中,体现数学知识的发生、发展与解决的整个思维过程,而多数大学老师还是以传授知识为主,很少去挖掘分析教材中蕴含了那些数学史知识和数学思想方法,更不会去思考数学知识从中小学到大学以及到数学最前沿的发生与发展的过程,对大学所学过的课程缺少整体的了解和把握,知其然而不知其所以然,大多数学生认为大学所学的数学课程与中小学数教学没有多大联系,对将来的中小学数学教学没有多大的指导作用,学习动力不足,学一门丢一门,以至于良好的数学思维没有形成,但数学史与思想方法在教材中随处可见,关键是要去挖掘它,这需要多看看数学史方面的书籍,掌握数学史知识是作为一名合格中小学数学教师的必备条件,在激发学生学习兴趣、还原知识和思想方法产生过程等方面是其他课程无法办到的,数学史知识在数学中起着不可替代的作用,这对大学高年级学生尤其具有指导作用,不仅能把中小学数学知识与大学数学知识联系起来,理解清楚数学知识发生与发展的原貌,而且还能对学生毕业后从事中小学教学教育提供思想和方法的指导,然后教材中蕴含的数学史与思想方法太多了,本文仅以下面两例加以说明。

　　2.1、从勾股定理到不定方程

　　讲到不定方程,人们首先想到的是勾股数,即求方程(1)的整数解.还有牛顿提出的“牛吃草”问题以及韩信点兵等都属于不定方程,而最古老的不定方程就是勾股数了,方程(1)又称之为毕达哥拉斯方程,(3,4,5)是广为人知的勾股数,一般地,若(…)是勾股数,那么(…)也是勾股数,三千多年前人们就在研究勾股数了,还掌握了关于勾股数的丰富知识.收藏在哥伦比亚大学普林斯顿收藏馆的322号巴比伦数学泥板在1945年被纽格包尔(Otto,Neugebauer)和萨克斯(Sachs)成功解释了,人们惊奇地发现了古巴比伦人列出了15组勾股数了。

　　在公元3世纪丢番都(Diophante,246~330)就找到了求出全部勾股数的方法,其方法是:设,是两个正整数,是完全平方数,那么…就是一组勾股数.而与丢番都同时代的我国魏晋时期数学家刘徽用几何方法找到了求勾股数的公式:设,是同为奇偶的正数,且,那么…这一结果载于公元263年刘徽对《九章算术》的注释中。

　　不定方程(1)的求解问题解决了,可人们要考虑的就是,甚至是更一般的问题,1621年法国数学家费尔马在丢番都作的学术专着《算术》这本书中的空白处写了他的一段读书笔记:“将一个高于二次的幂分成两个同次的幂,这是不可能的,关于此,我确信已找到了一种奇妙的证法,可惜这里的空白太小,写不下.”也就是,对于一切正整数,不定方程没有非零解,这就是着名的费尔马大定理.早期的研究都是从代数方面来开展的,虽有一些进展,但不能从根本上解决这个问题,后来人们发现与之间的关系,就把费尔马大定理转化为:曲线()不通过任何有理点.

　　这样一来,费尔马大定理与几 何 联 系 上 了,英 国 数 学 家 莫 代 尔 (L.J.Mordell)在1922年提出了猜想:亏格的有理代数曲线至多有有限多个有理解.西德数学家伐尔廷斯(Faltings)于1983年证明了莫代尔猜想:当时,是亏格的代数曲线,伐尔廷斯于1986年获得了最高的数学奖费尔兹(Fields)奖,表面上看来,伐尔廷斯的结果距离费尔马大定理的终点似乎只有一步之遥,但是,到达的路却是另一条,日本人谷山在1955年提出了猜想:“椭圆曲线都是模曲线”,现在只要能证明谷山猜想,那么费尔马大定理即得证.1993年6月,美国新泽西州普林斯顿大学教授怀尔斯(A.Wiles)在英国剑桥大学牛顿数学科学研究所召开的“Iwasawa理论、模形式和adic表示”学术会议上,应邀作了“椭圆曲线、模形式和伽瓦表示”系列报告,在报告末尾证明了谷山猜想,从而证明了费尔马大定理,在座的数学家们感到无比兴奋与震惊,一个困拢了数学界300余年的世界难题解决了,然而证明有漏洞需要修补,1994年怀尔斯终于修补完善了他的论文,美国的《数学年刊》在1995年发表了怀尔斯关于费尔马大定理的2篇论文,到此,费尔马大定理终于尘埃落地,而在1994年怀尔斯刚过40岁,错过了获得费尔兹奖的机会,在1996年成为了沃尔夫奖最年轻的得主.

　　值得一提的是,费尔马大定理是一只会下金蛋的母鸡,证明费尔马的论断并不十分重要,重要的是在长达300余年的漫长探索过程中所产生的思想、方法和理论,例如费尔马的无穷递降法、欧拉的二次型理论及型的因子分解问题、库尔默的分圆数的因子分解等等,由于这300年来为费尔马大定理而苦苦探求的数学家们的智慧,产生出了很多新的数学分支,丰富了数学宝库,找到了数学广阔的应用领域。在中国人的记忆中还有一个永远不会忘怀的数学名题———哥德巴赫猜想,1743年,哥德巴赫给大数学家欧拉的信中提出了两个问题:“是否存在任何不小6的偶数都可表示成两个奇素数之和?是否任何不小于9的奇数都可以表示成三个奇素数之和?”欧拉在回信中写道:“任何大于6的偶数都是两个奇素数的和,虽然我还不能证明它,但是我确信无疑地认为这是一个完全正确的定理.”这就是被誉为数学皇冠上的明珠的哥德巴赫猜想.

　　我国数学家王元、潘承洞为此作出了杰出的工作和贡献,特别是1965年取得“1+2”结果的陈影润(1933-1996),他的成果至今无人超越,但是正式论文是发表在1973年的《中国科学》上,40多年过去了,这最后的一路之遥依然没有越过,这将来摘取数学皇冠上的明珠者将是何人呢?在这探索的过程中,或许会创造出一些新的数学思想、方法和理论,创新奇迹,以进一步丰富数学的宝库,为人类科学事业作出更大的贡献。

　　2.2、从方程的根式解到置换群

　　初中学生就会用求根公式求解一元二次方程,然而,早在公元前1700年左右,埃及人就会求解一元一次方程,最迟到公元前六世纪,巴比伦人就会求解一元二次方程,但由于当时人们对负数、无理数、复数的认识的缺乏,一直到了16世纪,一元二次方程的求解问题才得以解决。在16世纪,人们会解一些特殊的三次方程,而一般三次方程的求解问题却是一个世界级的难题.1535年2月22日,意大利的米兰大教堂举行了一场举世瞩目的数学对抗赛,一方是威尼斯的数学教授塔尔塔里亚,一方是意大利波洛挪数学会会长费尔洛的学生菲俄,比赛规则是双方各出30道一元三次方程的题目,交给对方解答,谁先做完者为胜,结果只用了两个小时,塔尔塔里亚就解答出了对方的30道求解三次方程的题目,而菲俄一道题也没有做出来,令人震惊,这说明塔尔塔里亚懂得了求解三次方程的方法。“塔尔塔里亚”是“结巴”的意思,塔尔 塔 里 亚 的 幼 年 时 期 正 值 法 意 战 争,在1512年2月19日,法军劫掠布雷西亚时,塔尔塔里亚躲在教堂中也不能幸免于难,他的口舌和头部被砍伤,落下了口吃的毛病,塔尔塔里亚是他的浑名,很少有人知道他的真名丹诺(Fontana),他把一元三次方程的求解方法当成秘密武器,对谁也不讲。但在众多的求教者中,一个叫卡丹的人,是一个着名的医生,同时也是一个有着名的数学家,塔尔塔里亚经不住他的花言巧语,并在他发誓终身保守秘密之下,终于在一首语句晦涩的诗中把解一元三次方程的方法告诉了卡丹,十年过后,卡丹没有遵守他的诺言,在他写的《大法》一书中公布了一元三次方程的解法,数学界把求解一元三次方程的求根公式叫做卡丹公式。

　　在16世纪相继解决了一元三次和一元四次方程的求解问题,这时许多数学家们热心于研究五次及五次以上方程的求解,大家都深信一元五次方程有根式解。可时间过去了200年,一元五次方程的根式解还是没有找到,到了18世纪,法国数学家拉格朗日发现三次、四次方程的求解之所以成功,是借助了一个次数较低的辅助方程(预解式),它的次数与方程的全部根上的置换是1—1映射,然而构造一元五次方程的预解式一直没有找到,拉格朗日断定,解一元五次方程或者超越了人的智力,或者是根的表达式不同于当时所知道的一切.第一个证明了五次及五次以上的代数方程没有根式解的是挪威的青年数学家阿贝尔,他是转换了思路,设法去证明这样的解不存在,但是,问题还没有结束,他所说的五次及五次以上的方程指的是系数全为文字的一般方程,而对于一些具体的方程是可以用根式进行求解的,但一些看来很简单的方程如却不能用根式求解,于是就产生了一个问题:一个具体的方程有根式解的充要条件是什么?这个问题由法国青年数学家伽罗瓦(E.Galois,1811-1832)画上了圆满的句号,他是用当时还没有人能够理解的置换群来解决的,而置换群概念在当时包括顶尖级的数学家们都觉得莫名其妙,遗憾的是伽罗瓦在为爱情的一次决斗中丧生,幸好他在决斗的前夜写下了他的证明,请朋友转交给高斯或雅洛比(C.G.J.Jacobi,1804-1851),14年后,刘 维尔 (J.Liouville,1809-1882)在1846年发表了伽罗瓦的论文,首次发表的不算长的手稿“关于方程用根号解的条件的记录”,从很简单的但是很深刻的想法出发,终于解开了环绕着用根式解出方程的困难的症结,而这个困难却是伟大的数学家们所毫无成效地奋斗过的,伽罗瓦的理论才逐渐被人们认识,1870年,约当在《置换和代数方法专论》一书中全面介绍了伽罗瓦理论,于是,伽罗瓦超时代的思想终于得到了认可,在伽罗瓦解决方程根式解的过程中,伽罗瓦的成就在于他在方程论中第一次引进了非常重要的新的一般概念,这些概念后来在整个数学中起着重要的作用,一门崭新的数学学科近世代数学就这样延生了。

　　因此,数学思想对一个数学工作者来说极其重要,一个好的数学思想将对数学的发展产生深远的影响,只要我们尽力去挖掘教材中蕴含的数学史与思想方法,在教学活动中充分发挥教师的组织者、引导者和参与者的作用,将数学史与教材内容及知识重新组合,对教材进行二次开发,重新组织,培养学生的探索精神、开拓意识和创新能力,使数学变得更加生动而有趣,这将有利于帮助学生理解知识产生的背景及发展过程,使学生在学习知识的形成过程中充分感受数学史与思想方法所蕴藏的智慧,促进学生的自主学习,培养探索精神和数学思维及科学品质。

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